INTEGRAL

A. KONSEP TURUNAN
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.



B. INTEGRAL TAK TENTU

Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.




1. Aturan Integral Substitusi
Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari.
2. Aturan Integral Substitusi Trigonometri
Diposkan oleh Aulia_Wajuanna di 05:57
Reaksi:
Label: MATEMATIKA XII Kirimkan Ini lewat Email BlogThis! Berbagi ke Twitter Berbagi ke Facebook Berbagi ke Google Buzz
0 komentar:

BARISAN DAN DERET

Definisi Barisan :
Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.

Contoh :
1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst
2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst

Definisi deret :
Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un maka U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.

Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 +… + Un
2 + 4 + 6 + 8 +… + Un

A. Baris dan Deret Aritmatika

Definisi baris aritmatika :
Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.

Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b
Dengan
o a = U1= Suku pertama
o b = beda
o n = banyaknya suku
o Un = Suku ke-n


Suku pertamanya adalah 3 (a=3) dan bedanya adalah 2 (b=2), banyaknya suku ada 5 (n=5), suku ke-5 adalah 11 (U5 = 11).

Deret aritmatika adalah jumlah dari baris aritmatika.
Contoh : 3 + 5 + 7 + 9 + 11
o Ut = Suku tengah
o Sn = Jumlah n suku pertama

Berikut adalah cara untk mengetahui nilai dari beberapa hal yang disebut di atas :
· Beda
b = Un – Un-1
· Suku ke-n
Un = a + (n-1)b
Un = Sn – Sn-1
· Jumlah n suku pertama
Sn = ½ n (U1 + Un)
Sn = ½ n ( 2a + (n-1)b )
· Nilai tengah
Ut = ½ (U1 + Un)


B. BARIS DAN DERET GEOMETRI

Definisi barisan geometri :
Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap r maka barisan tersebut adalah barisan geometri.bilangan tetap r disebut rasio dari barisan.

Contoh :
2,6,18,48….. adalah barisan geometri dengan rasio 3. Artinya adalah nilai pada Un = 3Un-1.


Definisi deret geometri :
Jika U1,U2,U3,…..Un adalah barisan geometri maka jumlah U1 + U2 + U3 +… +Un disebut deret geometri.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah :
Sn = a( 1- rn ) / 1 – r , jika r < 1 dan Sn = a( rn - 1) / r – 1 , jika r > 1

matematika

peluang

DEFINISI
Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika
P(AÇB) = P(A). P(B)
Contoh:
Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam
Jawab:
Misal
A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas II
P(A) = 4/6
P(B) = 3/8
   _                  _
P(A) = 2/6      P(B) = 5/8

a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
        _        _         _      _
b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24

DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku :
P (AUB) = P(A) + P(B)
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).
Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
         n(S) - (6)² = 36
A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
     n(A) = 5
B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)}
     n(B) = 3
P(A) = 5/36        P(B) = 3/36
AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ®
       { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
       n(AUB) = 8
P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang saling asing.

DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)
Contoh:
Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil =      { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6
B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima =      {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6
P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang tidak saling asing.

matematika

Teorema Sisa

1. Suku banyak berderajat n habis dibagi (x-a), maka sisanya adalah 0
2. Suku banyak berderajat n dibagi (x-a), maka sisanya adalah f(a)
3. Suku banyak berderajat n dibagi (ax+ b), maka sisanya adalah

Hasil bagi suku banyak f(x) oleh ax+b adalah H(x) dan sisa S, hal ini ditulis

f(x)=(ax+b)H(x)+S

untuk x==

Sisa =

Contoh :

Tentukan sisa pembagian suku banyak 2x³ – x² + 3x -1 oleh

a. x b. x-1 c. x+2 d. 2x+1

Jawab :

1. f(0) = -1
2. f(1)= 2 – 1 + 3 – 1 = 3
3. f(-2)= 2(-2)³ – (-2)² + 3(-2) – 1 = -27
4. f(- ½ )=

Latihan :

13. Tentukan sisa pembagian x³ – 6x² + 11x – 6 oleh

a. x+1 b. x-1 c. x+2 d.xX-2 e. x-3

14. Diketahui f(x) = x³ + ax² + bx – 2 . Jika Sisa pembagian f(x) oleh x+1 sama dengan sisa pembagian f(x) oleh (x-2), tentukan nilai a dan b

Suku banyak berderajat lebih dari 2 dibagi (ax²+bx + c) mempunyai sisa ax + b

Contoh 11.

Tentukan hasil bagi x³-2x²+ 4x – 3 oleh (x+1)(x-2)

Jawab :

x³-2x²+ 4x – 3 = (x+1)(x-2)H(x) + ax + b

untuk x = -1  (-1)³-2(-1)² + 4(-1) -3 = (-1+1)(-1-2)H(x)= a(-1) + b

-1 – 2 – 4 – 3= -a + b

-a+ b = -10........................................................... (1)

untuk x = 2  8 – 8 + 8 – 3 = 2a + b

2a+b= 5 ............................................................... (2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi diperoleh a = 5 dan b = -5

Jadi Sisa pembagian x³-2x²+ 4x – 3 oleh (x+1)(x-2) adalah 5x - 5

Contoh 12.

x³ + ax + b:(x-1)(x-2) mempunyai sisa 2x+_1, tentukan a dan b

Jawab :

x³ + ax + b=(x-1)(x-2)H(x) + 2x + 1

untuk x = 1  (1)²+ a(1) + b = 2(1) + 1

a + b = 2 ………………… (1)

untuk x = 2  (2)³ + a(2) + b = 2(2) + 1

2a + b = -3 …………………..(2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi maka diperoleh a =-5 dan b = 7

15. x¹⁰ + ax⁵ + b habis dibagi x² – 1

Jawab :

x² – 1= (x-1)(x+1)

untuk x=-1  (-1)¹⁰ + a(-1)⁵ + b = 0 (karena f(x) habis dibagi x² – 1)

a - b = -1 ……………………………………….. (1)

untuk x=1  (1)¹⁰ + a(1)⁵ + b = 0

a + b = -1 …………………………………….. (2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi didapat a = 0 dan b=-1

15. 2x³+ x² + ax + 1 habis dibagi x²+ b, tentukan nilai a dan b

Jawab:

2x³+ x² + ax + 1 =( x²+ b) H(x)

2x³+ x² + ax + 1 =( x²+ b) (px + q)

2x³+ x² + ax + 1 =px³ + qx² + bpx + bq

p = 2 ; q = 1 ; a = bp ; bq = 1

bq = 1  b = 1

a=bp  a = 1.2  a = 2

Jadi : a =2 b=1 p = 2 q = 1

15. Tentukan nilai a dan b jika 4x³ + ax + b dibagi 2x² + 1 mempunyai sisa (x+ 1)

Jawab :

4x³ + ax + b = (2x² + 1)H(x) + (x+1)

4x³ + ax + b = (2x² + 1)(2x + q) + (x+1)

= 4x³ + 2qx² + 3x +q + 1

2q=0  q = 0 a=3 dan b= q+1  b = 1

15. H(x) dibagi (x-2) sisa 5, dan H(x) dibagi (x-3) sisa 7. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-2)(x-3)

Jawab

f(x) : x-1 sisanya 6 dan f(x) : (x-2)² sisanya 6x + 1

f(x) = (x-1)(x-2) + ax + b

f(1) = a + b = 6

f(2)= 2a + 1 = 13

Didapat a= 7 dan b = -1

15. Jika f(x) dibagi (x-1)² mempunyai sisa 2x+3. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-1)

f(1) = ( x – 1)²H(x) + 2x + 3

= 0 + 2 + 3 = 5

Sisa pembagian f(x) oleh (x-1) adalah 5

15. Jika f(x) dibagi (x-3) bersisa 2, tentukan sisa pembagian f(x)(x²+1) oleh (x-3)

Jawab :

f(x) = (x-3)H(x) + 2  f(3) = 2

15. f(x) dibagi (x²-4) mempunyai sisa 2x-2; g(x) dibagi (x-2) mempunyai sisa 5. Tentukan sisa pembagian [f(x).g(x)]² oleh (x-2)

Jawab :

f(x) = (x-4)H(x) + 2x- 2  f(2) = 2.2 – 2 = 2

g(x)= (x–3)H(x) + 5  g(2) = 5

{f(x).g(x)}³ : (x-2)  { f(2). G(2) }³ = {2 . 5}³ = 1000

15. M(x) dibagi (x-2) sisa 6; H(x) dibagi (x-1)² sisa 6x+1. Tentukan sisa pembagian M(x) oleh(x-1)(x-2)

Jawab :

f(x) = (x-1)(x-2)H(x) + ax + b

f(1) = a + b = 6

f(2) = 2a + b = 13

didapat a= 7 dan b = -1 Jadi Sisanya : 7x - -1

15. Jika f(x), g(x) habis dibagi (x+2) dan h(x)=x³-6x²-x+30 adalah KPK dari f (x) dan g(x). Tentukan nilai f(1)+g(1)=….

Jawab :

15. f(x):(x+2) sisanya 0; f(x) dibagi (x-1) sisanya 6; dan f(x) dibagi (x-2) sisanya 12. Tentukan persamaan parabola tersebut ?

27. Tentukan Tentukan sisa pembagian x² –(2y+3)x + y²+ 3y + 2 oleh
    1. (x-y-1) b. (x-y-2)

27. Tentukan faktor suku banyak 2x² +(3y-y)x + (y-1)(y-2)=0

27. Tentukan sisa pembagian x³ + ax² + bx+6 oleh x²-x – 2

matematika

suku banyak

Nomor 1

matematika

Teorema Sisa

1. Suku banyak berderajat n habis dibagi (x-a), maka sisanya adalah 0
2. Suku banyak berderajat n dibagi (x-a), maka sisanya adalah f(a)
3. Suku banyak berderajat n dibagi (ax+ b), maka sisanya adalah

Hasil bagi suku banyak f(x) oleh ax+b adalah H(x) dan sisa S, hal ini ditulis

f(x)=(ax+b)H(x)+S

untuk x==

Sisa =

Contoh :

Tentukan sisa pembagian suku banyak 2x³ – x² + 3x -1 oleh

a. x b. x-1 c. x+2 d. 2x+1

Jawab :

1. f(0) = -1
2. f(1)= 2 – 1 + 3 – 1 = 3
3. f(-2)= 2(-2)³ – (-2)² + 3(-2) – 1 = -27
4. f(- ½ )=

Latihan :

13. Tentukan sisa pembagian x³ – 6x² + 11x – 6 oleh

a. x+1 b. x-1 c. x+2 d.xX-2 e. x-3

14. Diketahui f(x) = x³ + ax² + bx – 2 . Jika Sisa pembagian f(x) oleh x+1 sama dengan sisa pembagian f(x) oleh (x-2), tentukan nilai a dan b

Suku banyak berderajat lebih dari 2 dibagi (ax²+bx + c) mempunyai sisa ax + b

Contoh 11.

Tentukan hasil bagi x³-2x²+ 4x – 3 oleh (x+1)(x-2)

Jawab :

x³-2x²+ 4x – 3 = (x+1)(x-2)H(x) + ax + b

untuk x = -1  (-1)³-2(-1)² + 4(-1) -3 = (-1+1)(-1-2)H(x)= a(-1) + b

-1 – 2 – 4 – 3= -a + b

-a+ b = -10........................................................... (1)

untuk x = 2  8 – 8 + 8 – 3 = 2a + b

2a+b= 5 ............................................................... (2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi diperoleh a = 5 dan b = -5

Jadi Sisa pembagian x³-2x²+ 4x – 3 oleh (x+1)(x-2) adalah 5x - 5

Contoh 12.

x³ + ax + b:(x-1)(x-2) mempunyai sisa 2x+_1, tentukan a dan b

Jawab :

x³ + ax + b=(x-1)(x-2)H(x) + 2x + 1

untuk x = 1  (1)²+ a(1) + b = 2(1) + 1

a + b = 2 ………………… (1)

untuk x = 2  (2)³ + a(2) + b = 2(2) + 1

2a + b = -3 …………………..(2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi maka diperoleh a =-5 dan b = 7

15. x¹⁰ + ax⁵ + b habis dibagi x² – 1

Jawab :

x² – 1= (x-1)(x+1)

untuk x=-1  (-1)¹⁰ + a(-1)⁵ + b = 0 (karena f(x) habis dibagi x² – 1)

a - b = -1 ……………………………………….. (1)

untuk x=1  (1)¹⁰ + a(1)⁵ + b = 0

a + b = -1 …………………………………….. (2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi didapat a = 0 dan b=-1

15. 2x³+ x² + ax + 1 habis dibagi x²+ b, tentukan nilai a dan b

Jawab:

2x³+ x² + ax + 1 =( x²+ b) H(x)

2x³+ x² + ax + 1 =( x²+ b) (px + q)

2x³+ x² + ax + 1 =px³ + qx² + bpx + bq

p = 2 ; q = 1 ; a = bp ; bq = 1

bq = 1  b = 1

a=bp  a = 1.2  a = 2

Jadi : a =2 b=1 p = 2 q = 1

15. Tentukan nilai a dan b jika 4x³ + ax + b dibagi 2x² + 1 mempunyai sisa (x+ 1)

Jawab :

4x³ + ax + b = (2x² + 1)H(x) + (x+1)

4x³ + ax + b = (2x² + 1)(2x + q) + (x+1)

= 4x³ + 2qx² + 3x +q + 1

2q=0  q = 0 a=3 dan b= q+1  b = 1

15. H(x) dibagi (x-2) sisa 5, dan H(x) dibagi (x-3) sisa 7. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-2)(x-3)

Jawab

f(x) : x-1 sisanya 6 dan f(x) : (x-2)² sisanya 6x + 1

f(x) = (x-1)(x-2) + ax + b

f(1) = a + b = 6

f(2)= 2a + 1 = 13

Didapat a= 7 dan b = -1

15. Jika f(x) dibagi (x-1)² mempunyai sisa 2x+3. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-1)

f(1) = ( x – 1)²H(x) + 2x + 3

= 0 + 2 + 3 = 5

Sisa pembagian f(x) oleh (x-1) adalah 5

15. Jika f(x) dibagi (x-3) bersisa 2, tentukan sisa pembagian f(x)(x²+1) oleh (x-3)

Jawab :

f(x) = (x-3)H(x) + 2  f(3) = 2

15. f(x) dibagi (x²-4) mempunyai sisa 2x-2; g(x) dibagi (x-2) mempunyai sisa 5. Tentukan sisa pembagian [f(x).g(x)]² oleh (x-2)

Jawab :

f(x) = (x-4)H(x) + 2x- 2  f(2) = 2.2 – 2 = 2

g(x)= (x–3)H(x) + 5  g(2) = 5

{f(x).g(x)}³ : (x-2)  { f(2). G(2) }³ = {2 . 5}³ = 1000

15. M(x) dibagi (x-2) sisa 6; H(x) dibagi (x-1)² sisa 6x+1. Tentukan sisa pembagian M(x) oleh(x-1)(x-2)

Jawab :

f(x) = (x-1)(x-2)H(x) + ax + b

f(1) = a + b = 6

f(2) = 2a + b = 13

didapat a= 7 dan b = -1 Jadi Sisanya : 7x - -1

15. Jika f(x), g(x) habis dibagi (x+2) dan h(x)=x³-6x²-x+30 adalah KPK dari f (x) dan g(x). Tentukan nilai f(1)+g(1)=….

Jawab :

15. f(x):(x+2) sisanya 0; f(x) dibagi (x-1) sisanya 6; dan f(x) dibagi (x-2) sisanya 12. Tentukan persamaan parabola tersebut ?

27. Tentukan Tentukan sisa pembagian x² –(2y+3)x + y²+ 3y + 2 oleh
    1. (x-y-1) b. (x-y-2)

27. Tentukan faktor suku banyak 2x² +(3y-y)x + (y-1)(y-2)=0

27. Tentukan sisa pembagian x³ + ax² + bx+6 oleh x²-x – 2

MATEMATIKA

peluang

DEFINISI
Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika
P(AÇB) = P(A). P(B)
Contoh:
Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam
Jawab:
Misal
A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas II
P(A) = 4/6
P(B) = 3/8
   _                  _
P(A) = 2/6      P(B) = 5/8

a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
        _        _         _      _
b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24

DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku :
P (AUB) = P(A) + P(B)
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).
Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
         n(S) - (6)² = 36
A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
     n(A) = 5
B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)}
     n(B) = 3
P(A) = 5/36        P(B) = 3/36
AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ®
       { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
       n(AUB) = 8
P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang saling asing.

DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)
Contoh:
Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil =      { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6
B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima =      {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6
P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang tidak saling asing.